Revised Version:

昔々、黒い山のいただきにお城が建っていました。強い風が辺りの木々を揺らします。そのお城には、灰色の着物を着たうつろというお姫様が住んでいました。うつろは、いつも一人で寂しく遊んだり歌ったりしていました。目の色はとても暗く、紙に置かれた炭や、カラス、銀色の月が好きでした。お城には、毎日のように雨が降りました。おばあちゃんはうつろに、「それは神様が緑を好きだからだよ」、と教えました。うつろは色が嫌いでした。おばあちゃんも、それを理解しているようでした。いつかうつろを色の世界に連れていき、色の大切さを教えたいと望みました。でもある時、おばあちゃんは病気でなくなってしまいました。悲しみに暮れたうつろは、おばあちゃんの望みを叶えるべく、色の世界のある山の頂上を目指し、ゆっくり歩き始めました。

するとそこへ、山のふもとに住む龍がやってきました。

Though most of the grammatical errors were prepositions, typos, sentence structures, (so it is hard to describe why they have to be those ways rather than what you wrote), a few notes might help your future writing:

1. Adjectives are not usually conjugated with any prepositions, unless you change them into noun forms. (e.g. さびしいが×　さびしさが〇)

2. You are going to learn much much more different kinds of verbs that effectively specify actions, emotions, tones, politeness, etc. in the future, but it would be helpful for you to notice how some of your verbs are revised, especially how those are conjugated. (e.g. なくなりました vs. なくなってしまいました: both words mean almost the same, but the latter can indicate her sadness upon her grandma's death than the other.)

3. Since I have been working on translating Japanese short/-short stories into English for my creative writing skills, I truly know how Japanese expression/ sentences/ word choices differ from other languages. One of the significant differences is that Japanese language prefers to state modifier clauses in the very first of sentence. (e.g. そのお城には or でもある時: These not-so-important pieces of information are often stated in the end of sentence in English, while Japanese loves saying these in the beginning.)

I assume your piece has not hit the end yet. I would love to look at the rest of your piece if you want!

P.S. My revised version looks upper-advanced Japanese level, which I am not sure if you wanted this type of revision or one corrected just basic grammatical mistakes, so feel free to ask any requests/ questions to me, please. I usually use strikes and highlighters for grammatical corrections, but my laptop hasn't been letting me use them for some reason. I am sorry if it created any inconveniences to you!

Good luck!

大学の教授へのメール

始めまして。私はブラウンクリスティナで、アルケカディア大学ので心理学の教授ですを教えています、ブラウンクリスティーナと申します。少しだけ日本語を話せるのでますが、唐沢先生も英語を喋られると伺ったので、英語でメールを続けます話させていただきます。

This is what I want to say: "Hello Dr. Karasawa. I'm Christina Brown, a psychology professor at Arcadia University. Because I only speak a little Japanese, I will continue this email in English."

(If you have recommendations for how I should begin this email instead of what I wrote above, I'd appreciate it!)

Good afternoon, Prof. Christina!

My name is Arisa, native Japanese speaker and college student in New York.

You could definitely call 先生 to him even though you're also a teacher. If you want to stay your email formal, I wouldn't recommend 「さん」 because it sounds somewhat less formal to me. Additionally, if it will be your first time to email him,  beginning with 「始めまして」 sounds better than merely saying 「こんにちは」.

I might have been too picky here, but I tried to make your Japanese sound more natural and concise.

If you'd have any questions, I'd be happy to help you out!

大平（くんorさん）への手紙

皆さん、メリ-ークリスマス！素晴らしいクリスマスをお過ごしのことと思います休日を望む。今年の夏にあお会いできてうれしかったです。お前たちみなさんと皇居とや東京スカイツリ-ーに行くったのが楽しかったですいでした。旅行の僕の好きな部分は考一さんの料理でした。たこ焼きはもおいしかったです。もう一度また皆さんにお会いできることを楽しみにしていますたいと思います。

明けましておめでとうございます、よいお年をお迎えください。

助衆和

(これは友達に宛てた手紙です。友達にそれを送りたいです。訂正を感謝しますしていただけるとありがたいです。)

始めまして、ジョシュアさん。

とても暖かいお手紙で、読んでいて心が温まりました＾＾。きっと大平さんも喜んでくださると思います。

As you may have already noticed, I classified a few grammar mistakes into three different colors:

Yellow shows your basic grammar mistakes. (In your case, most of them are prepositions.)

Blue indicates natural sentences/ phrases Japanese speakers use instead of your original sentences/ phrases.

Green is like the advanced version of Blue, meaning your original sentences/ phrases still sound right, yet we express them differently. I replaced them with more natural ones.

You're more than welcome to talk to me if you have any questions! Good luck!