Она выглядела милой даже с тараканом во рту

У хозяина хостела, где я остановился, есть маленькая кошка. Она белая как снег и любит играть.
Однажды ( не нужна запятая*) она играла с тараканом. Она била его тут и там,  как игрушку, и таракан терял части тела до смерти пока не умер.
Забавно, что мы считаем милым животное, которое убивает для удовольствия.
По факту, она выглядела милой даже с тараканом во рту.  

Девушка отсюда (с сайта Каучсюрфинга), которая организует  встречи по языковому обмену,  пригласила меня пожить у неё. В первый раз мы встретились В нашу первую встречу я почувствовал, что мы понравились друг другу, но я не думал что она пригласит меня к себе.
Хотя Не смотря на то,что (больше подходит по контексту) я с удовольствием поживу в доме местного человека, особенно с красивой девушкой, время сейчас неподходящее.
Во первых, так как она  с семьей живет далеко от центра, мне БУДЕТ сложно(или "я не буду иметь возможности", предположение будущего времени)  встречаться с другими девушками. Надо ковать железо, пока горячо...(от пословицы "куй железо, пока горячо") 
Во вторых, наконец-то я нашел неплохую квартиру в аренду и собирался снять её с сегодняшнего дня, но нет смысла начинать платить за жильё именно тогда,когда в ней не живешь. С другой стороны / в то же время(можно употребить оба варианта), я боюсь, что ко времени, когда я уеду из её дома (покину её дом), квартира,  которую я хочу (сейчас хочу, настоящее время)арендовать, уже будет занята.
Так или иначе, я принял её  приглашение и с этого дня поживу у неё на несколько дней.

 

Упражнение 10.04

Наш подготовительный факультет знают в разных странах мира. Многие студенты нашего факультета уже стали хорошими инженерами, врачами, геологами, строителями, экономистами. После окончания факультета студенты учатся в разных городах и институтах России. Студенты хотят стать хорошими специалистами, поэтому они серьёзно занимаются всеми предметами. На факультете студенты учатся только 10 месяцев. Летом студенты сдают несколько экзаменов. После экзаменов студенты собираются на последнем вечере. Они прощаются со своими преподавателями, друзьями. После окончания подготовительного факультета они учатся на других факультетах.

Возможно будет лучше, если использовать "выпускной вечер" вместо "последний вечер".

Упражнение 10.02: Восстановите текст

Каждый год на подготовительном факультете Политехнического университета бывает День русского языка. В этот день на факультете нет обычных занятий. В этот день студенты играют роли журналистов, экскурсоводов, преподавателей. Они могут стать переводчиками, артистами, писателями, поэтами. Преподаватели советуют своим студентам принять участие в этом празднике.