Поездка в Москву. Часть четвертая.

Одной из наиболее заметных особенностей Москвы было разнообразие стилей архитектуры, так как столице России более тысячи лет, в отличие от Канберры, столицы Австралии, которой всего сто лет.

Changed the order of words in a sentence for better sound. Your version was correct, though punctuation placed incorrectly.

In fact, the age of the city is determined by the date of the first mention in the annals. The first mention about Moscow is in 1147. So, Moscow is 868 years old now.

Она была основана в 1913 году, и её обустроили позднее, в 20 веке, после второй мировой войны.

Comma because "information update" (уточнение), dont know this term in English.

Именно поэтому архитектура нашей столицытакая современная,

Need no dash.

не имеет ни ярких украшений, ни сложной геометрии.

Dash is not suitable. I recommend to put "." and start a new sentence.

Cкорее всего, дома здесь коричневого цвета, построены квадратами.

Parenthesis (вводное слово), need comma. Changed the order of words in a sentence for better sound.

С другой стороны, в Москве я чувствовал, что приехал в историию,

Better to say "Я чувствал дыхание истории". It's idiom. The literal translation is "history's breath".

как будто передо мною стояли древние и мудрые люди. Сразу возникают мысли о множестве людей, которые там жили, воспитывали детей, и служили в армии в течение веков.

Sorry for my clumsy English.

Упражнение

1. Когда мы были маленькие, мы весь день играли в футбол на улице.

It's correct, but better to say "Когда мы были маленькие, мы целыми днями играли в футбол на улице".
2. Эту На этой неделе у неё не будет нет свободных дней.
3. У меня есть двоюродный брат. Он увлекается спортом и он читает только спортивные газеты.

I dont know the original text, but if you want to say "he reads only sports newspaper", then you need swap "читает" and "только". Second "он" unnecessary.
4. Брату очень нравится музыка. Он хорошо играет на гитаре и нормально поёт.

5. По воскресеньям она ходит к родителям, чтобы пообедать со своей семьей.

Арабская лодка.

Я видел деревянную лодку из Арабского залива.

Here "Из Арабского залива" = "from Arabic Bay", but if you mean "I saw wooden boat IN Arabic bay", then "в Арабском заливе".

Лодка это была великая огромная (or "большая") которая была она плавала в всех странах и моряхв поисках богатства. Но сейчас это лодка только в моем море.

Here "Но сейчас это лодка только в моем море" = "But now it is only boat in my sea".

If you mean "But now this boat is only in my sea", then "Но сейчас это лодка только в моем море".

By the way, there is no such term "Арабский залив" in the Russian geography. It might be "Персидский залив" or "Красное море" or "Аравийский залив". Place names are sometimes difficult to translate.

Sorry for my clumsy English.

Закажи площадку...

Сегодня я получила сообщение от Мирка: «Я вернулся в Чехию. Закажи площадку и дай мне знать, когда мы будем играть».

Точка ставится после закрывающих кавычек.

С Мирком я познакомилась год назад на сайте для любителей бадминтона. На этом сайте он предлагал бесплатную тренировку всем, кто любит этот замечательный спорт. Я отправила ему е-мейл и мы договорились, где и когда встретимся.

До нашей встречи я думала, что играю в бадминтон довольно хорошо. Но уже в первые минуты игры с Мирком я поняла знала,

Стилистическая правка, так просто лучше звучит.

что мне надо улучшить все в моем стиле.

Здесь понятно, что вы хотели сказать, но звучит немного странно, как будто у говорящей есть определённый стиль (как кроль в плаваньи или кунг-фу в единоборствах), и они с Миреком высняют, чей стиль лучше. Мне кажется, что будет хорошо сказать «я поняла, что мне ещё многому надо научиться». Варианты: «я поняла, что мне есть, что улучшать (в моей игре)», «я поняла, что мне есть, куда расти» (идиома).

Я бегала по площадке как сумашедшая, а Мирек стоял в середине площадки и без особого любого усилия отбивал волан.

Стилистическая правка. Ещё здесь два раза повторяется слово площадка, более красиво звучит, кода повторений нет. В данном случае можно просто вырезать первое упоминание площадки, всё равно будет понятно, о чём речь. Хотя грамматически всё правильно.

Часто мне надо было просить его, чтобы мы остановили игру, потому что мне хотелось отдохнуть, стереть пот со лба (опечатка) и попить несколько глотков воды.

В принципе, так сказать можно, но звучит коряво. Луче сказать либо «и выпить несколько глотков воды», либо «и попить воды».

Во время нашей игры Мирек объяснил мне тактику, он потретировал меня в коротких и длинных подачах и показал мне, как лучше бить.

Я была очень благодарна за такую тренировку. Да, я потела как лошадь, но мне было приятно увидеть, что футболка Мирка стала тоже мокрой...

С тех пор мы встречаемся регулярно. На следующей неделе мы будем играть, и я надеюсь, что Мирек похвалит меня и скажет, что я играю намного лучше.

На счёт склонения имени (я не знаю, какой вариант правильный)

Если его имя Мирек, то:

Мирек, Мирека, Миреком, Мирику, Мирике. 

Если его имя Мирк, то:

Мирк, Мирка, Мирком, Мирку, Мирке.

В целом, вы очень хорошо пишете по-русски, поэтому я при исправлении обращал внимание и на стилистику, т.е. исправлял даже там, где нет явных ошибок. Надеюсь, это будет вам полезно.

Петуха забыли. Есть энимал идиом, связанная с петухом.