Письмо к подруге
Дорог<strike>о́й</strike>
ая Ле́на, (Лена is a girl's name so the adjective has to be feminine. Широкая дорога, прошлая неделя. Masculine would be Дорогой друг, высокий человек)
Извини́ меня́, что ре́дко пишу́ п
исьма́. (The accent is wrong here, but it's not a huge mistake)
Я была́ о́чень занята́, потому́ что у меня́ бы́ли экза́мены, но сейча́с всё в поря́дке.
Как <strike>у тебе́</strike> у тебя дела́ сейчас? Кака́я учёба? (У тебя - this is genitive, 2nd case, and тебе is dative, 3rd case)
На про́шлой неде́ле, <strike>я верну́лся</strike> вернулась из Япо́нии в путеше́ствие с моей семьей. -
Masculine: делал, работал, вернул, вернулся (вернул + ся = вернул себя = returned myself)
Feminine: делала, работала, вернула, вернулась (вернула + сь = вернула себя = returned myself)
Моя / своя: if you are saying "me together with my family" you should use "я со своей семьей" rather than "я с моей семьей". It's not a huge mistake though.
Also, I would rephrase your sentence in one of the two ways.
Я вернулась из путешествия в Японию со своей семей.
Я вернулась из Японии, куда мы ездили (путешествовали) со своей семьей.
Я купи́ла тебе́ краси́вый шарф и япо́нский шокола́д. Я наде́юсь, что тебе понра́вится.
Напиши́ мне письмо́, когда́ смо́жешь.
До свида́ния.
Твоя́ подру́га Женя́.