The first variant is correct. But you have to add "это". The sentence will be "Я знаю, что это моя собака". Pronoun "моя" means Possessive "my". For exsample -my dog - моя собака, my pen -моя ручка. Меня means (me) Object Pronoun, like "you can see me".
me — меня, мне, мной
him — его
her — ее
it — его, ее
us — нас
you — вас, тебя
them — их и т.д.