The first variant is correct. But you have to add "это". The sentence will be "Я знаю, что это моя собака". Pronoun "моя" means Possessive "my". For exsample -my dog - моя собака, my pen -моя ручка. Меня means (me) Object Pronoun, like "you can see me". me — меня, мне, мной him — его her — ее it — его, ее us — нас you — вас, тебя them — их и т.д.

I have to add to this one to clear this up. I wonder why no one said that second variant implies that the dog f'd you ;) No joke.

I know that is my dog = Я знаю, что это моя собака

Both are correct = Оба правильные. But they have a different sense = Но они имеют различный смысл and they are incomplete = и они не закончены. If you mean "I know that is my dog": I (Я) know (знаю) that (- это) my (моя) dog (собака). In fine: Я знаю - это (то) моя собака. Sometimes that = что, but that = то/та/тот (это/эта/этот). Give me that pencil, pls = Дай мне ТОТ карандаш, пожалуйста. That house (far) = Тот дом (далеко). This house (here) = Этот дом (здесь).

If you try to say that this certain dog is yours, you should say Я знаю что собака моя. When you say Я знаю что моя собака the sentese is uncomplete, it's like 'I know that my dog...'