Erwägen = consider to do something (i. e. doing something is considered, or an action is to be considered.)
Berücksichtigen = consider something (i. e. a thing is taken into account, taken heed of)
1a) HÄUFIG
Ich erwäge das Buch zu kaufen. -> I consider buying the book. (correct)
Ich berücksichtige das Buch zu kaufen. (this sentence is absolute nonsense)
1b) SELTEN
Die Firma erwägt einen Umzug ins Ausland. (may sound overblown, but is correct)
Die Firma berücksichtigt einen Umzug ins Ausland (grammatically correct, but I can't imagine a situation where this makes sense)
2a) HÄUFIG
Ich werde deine Bedenken berücksichtigen. -> I will consider your doubts (correct)
Ich werde deine Bedenken erwägen (this sentence is absolute nonsense)
2b) SELTEN:
Ich werde berücksichtigen, dass du Bedenken hast. -> I will consider that you have doubts (correct, sounds cumbersome, rarely used)
Ich werde erwägen, dass du Bedenken hast. (this sentence is absolute nonsense)
The a cases are frequently used, but the b cases are rarely used.
So, if case 1b is confusing for you, just ignore it and use "erwägen" only with a verb and "berücksichtigen" with a noun as an object.
And in case 2b) you use "berücksichtigen" with a whole subordinate clause "berücksichtigen, dass ... " which may lead to a long-winded sentence. You may encounter case 2b in a formal text, but I con't recommend using it. Ever.
"Erwägen" klingt formal und gebildet, "berücksichtigen" klingt normal.
In der gesprochenen Sprache kommt "erwägen" fast nie vor. Man sagt eher "Ich denke darüber nach, das Buch zu kaufen." (colloquial speech).
Aber in der geschriebenen Sprache ist "erwägen" durchaus OK. Es klingt allerdings altmodisch. Ich würde also niemals so werben: "Erwägen Sie, unser Produkt zu kaufen." (It would sound very old-fashioned.)
