Мои животные компаньоны  [Питомцы. любимцы или домашние животные]

Мои родители выдали [We say here if it was a gift - подарили ]мне моего первого любимца, когда мне было пять лет. Мы назвали ей Лаикой [Russian alias - Лайка]. Она была белая и маленькая. В тот день, когда они выдали [So, here we still may use подарили or change with a synonym дали]мне Лаику, я приходил из школы [Here, you a describing a moment, not a repitetive action, so it's better to write something like this: В тот момент, когда они показали мне Лайку, я только что вернулся из школы]. Тотчас я завидел так красивую собаку на моём квартире, я чувствовал радость. [Как только я увидел красивую собаку в квартире, я сразу сильно обрадовался]

Нам нужно отдал Лаику, потому что она поступала плохо. [Лайка вела себя плохо, поэтому мы были вынуждены отдать её] Один раз, Лаика разрушил [разорвала for a toilet paper] а целую туалетную бумагу. Иной раз, она разбросала [In this case the verb means she did that ones] мусор дома повсюду. [Иногда она разбрасывала мусор по всему дому]

После немного лет,[Спустя некоторое время].  я получил моего [it's fine, but better omit as itteration] второго любимца от моего дяди. Мы назвали ей Катией [maybe you meant Катей], которая тоже маленькая, но коричнева [Она была тоже маленькая и коричневая]. Мои родители не хотели другого любимца [Here is better to use - питомца], но я был так счастлив, что они были должно вынуждены принять это подарок.

Несклько лет спустя, Лаика умерла из-за проблем с дыханием дыхательных затруднений. Тот день, Лаика была во дворе дома на солнце, лежавшая под солнцем. Я стал был [Cause you were sad just some time, but you haven't changed after that on forever-sad :) ]очень печальным, но в тот день я не заплакал, я удержался сдержался[Сдерживать эмоции]. На Следующий день, когда я увидел её цепь, я не смог удержать слезы.  <-- ОТЛИЧНО! :)

Спасибо большое.

Моё личное примечание.

Молодец! Ошибки в основном в выборе правильного слова. Относительно смысловой части, ты пишешь, что вы отдали Лайку в середине текста, а в конце она уже опять у тебя дома или ты имел ввиду, что это Катя, другая собака? 

В парке

Я редко хожу в парк. Недалеко от нашей квартиры есть лес. Я иду туда бегать и заниматься гимнастикой. Я играю в настольный теннис. И если я не играю в настольный теннис, я читаю классическую русскую литературу. Недавно я читал ранние рассказы Чехова. Конечно, со словарем.

Идти - однократное действие, 

Ходить - выражает многократно повторяющиеся действия. 

В данном случае лучше написать: "Я хожу туда бегать..." Т. к. подразумевается, что ты делаешь это регулярно. 

Gym.

С английскими субтитрами на английском. Так, ты слышишь, видишь и запоминаешь лучше слова и выражения :)