Creio que o mais correto seria "Começaram a estudar" , porém a forma "Começaram estudar" não está incorreta, apenas menos legível, para isso e utilizado o conectivo "a" para dar mais sentido na frase, o uso adequado dos conectivos contribui para a estruturação da sequência de um texto, conferindo a ele maior legibilidade. Contudo, a aplicação desses termos deve ser feita de maneira correta, pois o uso inadequado dos conectivos pode provocar relações de sentido diferentes daquelas que são esperadas. Os principais conectivos utilizados são as conjunções, palavras responsáveis por relacionar partes da oração ou orações de um período.

Bem, acredito que estejamos falando de coisas diferentes. A Loren perguntou sobre 'começaram estudar' versus 'começaram a estudar'. Com isso, entendi que ela estava perguntando sobre 'começar' seguido dum verbo no infinitivo. Nesse caso, creio que seja impossível não utilizar uma preposição. O uso corrente entre os nativos prefere a preposição 'a', mas, sim, a preposição 'por' também é possível (com uma leve mudança de sentido) e, de acordo com os links que postei acima, a preposição 'de' também é possível com o mesmo sentido da preposição 'a' — porém, seu uso é arcaico ou literário. Nenhum dos dicionários on-line que chequei parece sugerir a possibilidade de não usar preposição alguma entre 'começar' e um verbo no infinitivo. O Houaiss não está abrindo aqui, mas os exemplos do David não contêm essa estrutura sem preposição; são exemplos de 'começar' seguido por substantivo, verbo no gerúndio (que me parece possuir um sentido parecido com a estrutura 'começar' + 'por' + verbo no infinitivo; comparem 'começou vendendo' com 'começou por vender'), adjetivo ou como verbo intransitivo. Então, sim, o verbo 'começar' é possível de ser usado sem preposição, mas não quando seguido por um verbo no infinitivo. Nesse caso, no português moderno, eu diria que é obrigatório usar 'a' ou 'por', com sentidos sutilmente diferentes. Não acredito que nenhum nativo aqui realmente diria 'ontem eles começaram estudar para a prova'. =P

Creio que 'começaram estudar' esteja errado sim. Soa-me estranhíssimo e jamais diria sem a preposição. Só para conferir: http://www.aulete.com.br/começar https://ciberduvidas.iscte-iul.pt/consultorio/perguntas/comecar-a--comecar-de/11949 https://ciberduvidas.iscte-iul.pt/consultorio/perguntas/comecar-a-e-comecar-de/33929

Começaram a fazer algo. Começaram a estudar.

Oi, Loren. Acredito que ambos estão corretos, na verdade (rs). Gramáticas mais tradicionais dão preferência ao uso da preposição "a". Entretanto, outras não. O Houaiss aceita ambos os casos, com uma leve mudança semântica. Começar (verbo) transitivo direto 1 dar início a; principiar, iniciar Ex.: começaram a construção da escola intransitivo 2 ter começo, ter princípio Ex.: a chuva começou de manhã cedo intransitivo 3 fazer a primeira tentativa ou ter a primeira experiência Ex.: começou vendendo livros de porta em porta e hoje é editor predicativo 4 ter início em determinadas condições ou circunstâncias Ex.: a festa começou animada Tudo depende do caso em que você emprega esta estrutura. Se for como auxiliar, como parece ser este, o mais "normal/utilizado" é com a preposição "a", mas também encontramos com "por" (Ele começou por agredir um guarda).