공부하고 있어요. = I am studying. 공부하고 없어요. is wrong. -고 없다 means "do something and there is nothing" ex) 사과 어디 있어요?(Where is an apple?) 내가 먹고 없다.(I ate the apple and there is nothing). 그는 집에 가고 없다.(He went home and he is not here). Antonym of 공부하고 있어요(I am not studying) is 1. 공부 안하고 있어요. 2. 공부하지 않고 있어요.

Be doing something : ~하고 있다/ ~하고 있는 중이다 Be not doing something : ~ 하고 있지 않다/ ~하고 있지 않는 중이다. Ex) What are you doing? 너 뭐하고 있어? I am studying Korean. 나 한국말 공부하고 있어.