Позволять - более официальный стиль Разрешать - более разговорный, но не всегда(см примеры) Пхеньян впервые ПОЗВОЛИЛ западным ученым работать на вулкане. (на государственном уровне). Суд не ПОЗВОЛИЛ ФСС взыскать с игроков "Зенита" (футбол) 18 миллионов рублей.(суд) "Авангард" ПОЗВОЛИЛ "Северстали" отыграться со счета 0:3 и упустил победу в основное время.(новости хоккея). Путин РАЗРЕШИЛ регионам выбирать себе губернаторов.(правительство) Медведев РАЗРЕШИЛ чиновникам иметь дома за рубежом. Минобрнауки РАЗРЕШИЛ школам отказаться от домашних заданий.(министерство) Хочу что бы мама РАЗРЕШИЛА курить, что для этого сделать? Мне 14 лет, моему парню 18 лет. Уже такое было что мама нам не РАЗРЕШАЛА нам встречаться, но тогда я её уговорила, а сейчас не знаю что делать. Когда (союз) учитель (подлежащее 1) РАЗРЕШИЛ (сказуемое 1), мы (подлежащее 2) пошли (сказуемое 2) домой (обстоятельство). Абсолютных синонимов практически не бывает, всегда есть какие-то нюансы. Allow - более формальный глагол, чем let, например....

They both have the same meaning. Разрешать is used more often than Позволять nowadays. But you can only use позволять/позволить in some expressions, for example: позволять себе - to permit oneself, to take liberties Здоровье не позволяет ему пить. He can't drink because of his poor health. (His health doesn't allow him to drink.)

'Позволять' has the next meanings: 1. to allow, to permit Он позволил ей пойти туда. — He allowed / permitted her to go there. Or He let her go there. 2. to make it possible, to enable Это позволяет вдвое увеличить производительность. — This makes it possible to double productivity. 3. [in imperative] allow me 'Разрешать' has the next meanings: 1. to allow, to permit Он ему разрешил это делать. — He allowed him to do it. 2. to authorize разрешить книгу к печати — to authorize the printing of the book 3. (of a task, problem etc.) to solve Ну-ка, философ, разреши мне эту задачу. - Hey, philosopher, solve this problem. 4. (of an argument, doubts etc.) to settle, to resolve разрешить противоречия - to settle the differences 5. [in imperative] allow me I hope this helps.

в этих двух словах нет принципиальной разницы, можешь использовать их одинаково. in these two words is no fundamental difference, you can use them equally.