「私はよくネットゲームをしますが、チャットはほどんどしません。」が自然です。 「は」で言うとしたら、「私はネットゲームはよくしますが、チャットはほとんどしません。」ですかね。 おそらく、ネットゲームとチャットを比較したい場合には、「は」を使った方がいいと思います。

どちらも通じます。 括弧の中の助詞「を」は間違っていますか。→まちがっていません。 正しい助詞は「は」ですか。→「私はよくネットゲーム（は）しますが、チャットはほどんどしません。」、これもまたただしいです。 それども両方入れ替われるんでしょうか→「私はよくネットゲーム（を）しますが、チャット（を）ほどんどしません。」、これはまちがいだと思います。おかしく感じます（一応、それでも通じます）。

個人的には、 「私はよくネットゲームをしますが*、チャットはほとんどしません。」 が自然かなと思います。

「私はよくネットゲーム（を）しますが、チャットはほどんどしません。」で良いと思います。 どちらでも意味はわかりますよ。 ですが、厳密に言うと、「は」は係助詞と言って「ついた語の意味を強調する」はたらきがあります。 ネットゲームを強調したければ「は」でしょうね。 また、「を」は格助詞と言って「動作の対象」を指します。 「〜する」対象の説明をする感じです。 『くっつきの「を」』なんて言い方をします。 強調したければ「は」、「〜する」説明をしたければ「を」でしょうか。 私はそのように理解してますが…。