Bother=to annoy/be annoyed at something e.g. it bothers me that there are no jobs out there. dismay/to be dismayed at something is when you are shocked (and probably appalled) by something e.g. i was dismayed by his stupidity. (im english btw) hope this helps clarify your confusion :)

В русском языке оба слова можно перевести как "беспокойство, волнение". Но "dismay", насколько я понимаю, означает беспокойство по поводу возможной опасности, а "bother" - множество мелких проблем, из-за которых нет времени на отдых. Поэтому если нужно подчеркнуть разницу значений, в русском языке можно использовать соответтвие "dismay" - "испуг", "bother" - "хлопоты, суета".

Если отвечать коротко без контекста, то я бы перевел dismay как "беспокоить", и bother как "надоедать", "раздражать". Stop bothering me - Хватит мне надоедать. What bothers me most is... - То, что больше всего меня раздражает... It doesn't bother me - меня это не беспокоит / не волнует I don't bother about... - меня не беспокоит (что-то), меня не волнует, мне все равно. He didn't even bother to let me know... - Он даже не побеспокоился сообщить мне... (я бы сказал: "не потрудились" в этом случае)

I think that these words has the same value as in English.