Думать - основное действие. Подумать - это действие, ограниченное временными рамками (тоесть имеет начало и конец действия во времени) и имеющее результат этого действия (решение). Когда говорят - Я подумаю (подумал) - это значит что я начну думать и потом закончу (начал и закончил) и получу (получил) результат. Я думаю - я в процессе действия. Я думал - я был в процессе, но результат не известен.

difference between both words are just stylistic, they have the same meanings, but you have to remember, that думать is verb of imperfect shape (что делать?) and verb подумать is perfect shape one.

One more tip and example. Sometimes we use подумать for future time. - Ты идешь с нами в кино завтра? - Не знаю, я подумаю об этом. - Are you gooing to the cinema with us tomorrow? - I don't know yet. I'll think about it.

Добавлю еще пару примеров: Эта задача трудная. Чтобы ее решить, нужно немного подумать. Эта задача простая. Над ней не нужно долго думать. Я подумал и согласился. Я весь день думал, соглашаться или нет, но так и не решил.

Думать - it's a long process Подумать - it's a short process, moment (мнгновение) Не буду думать на эту тему, у меня от этого депрессия. Я тут подумал, и решил что буду апельсиновое мороженое.