Отчёт о поездке

В Июне я летал в Россию на один мезяц из Франкфурта в Москву. В июне я летал на меСяц в Россию: из Франкфурта в Москву.
Когда я приехал в аэропорт, взял мой рюкзак с багажной летны. Прибыв* в аэропорт, забрал свой рюкзак с багажной летны.
Лев меня хотел встретится в аэропорту. Лев хотел встретить меня в аэропорту.
Я вышел из зала и искал Лева, но его там не было. Я вышел из зала и поискал ЛЬва, но его там** не было.
Я вышел на улицу и ПОискал его там, но там его тоже не было.
Я хотел позвонить ему, но мой телефон не работал.
Таксист прешёл и спросил, нужно ли мне такси. Подошел таксист и спросил...
Я ответил, что жду моего друга, но я не могу ему позвонить. ...жду моего друга и не могу ему позвонить.
Он спросил у меня номер его телефонА и поЗвонил моему другу ему.
Потом он передал мне свой телефон. Так я нашёл своего друга.
Таксисту я дал небольшой подарок: марципану из Любека.

* "Приезжают" на машине, на поезде. в аэропорт приезжают, чтобы сесть в самолет и улететь или чтобы кого-то встретить. Если я правильно понимаю, вы говорите о прибытии в Москву из Франкфурта - тогда вы "прилетели" или "прибыли".

** Слово "там" предполагает, что ранее вы назвали конкретное место. Но в первой части предложения вы говорите, что вышли из зала, и не обозначаете, куда вышли. Может быть, вы имели в виду, что вышли В зал (ожидания)?

Очень хороший текст :)

 

В Июне я летал в Россию на один месяц из Франкфурта в Москву. Когда мы приземлились в аэропорту я взял мой рюкзак с багажной ленты. Лев хотел встретить меня в аэропорту. Я вышел из зала и искал Льва, но его там не было. Я вышел на улицу и искал его там, но его там тоже не было. Я хотел позвонить ему, но мой телефон не работал. Таксист подошел и спросил, нужно ли мне такси. Я ответил, что жду моего друга, но я не могу ему позвонить. Он спросил меня номер телефона и позвонил моему другу. Потом он дал мне свой телефон. Так я нашёл моего друга. Таксисту я дал небольшой подарок: марципан из Любека.

Отчёт о поездке

В июне я летал в Россию на один месяц, из Франкфурта в Москву. (It's better to say: В июне я летал в Россию и пробыл там целый месяц. Мой путь был из Франкфурта в Москву)
Когда я приехал в аэропорт, я взял мой рюкзак с багажной ленты.
Лев меня хотел встретится в аэропорту.
Я вышел из зала и искал Льва, но его там не было.
Я вышел на улицу и искал его там, но его там тоже не было.
Я хотел позвонить ему, но мой телефон не работал.
Таксист подошел и спросил, не нужно ли мне такси.
Я ответил, что жду моего друга, но я не могу ему позвонить.
Он спросил меня номер его телефона и позвонил моему другу. (Он спросил номер телефона моего друга и позвонил ему)
Потом он дал мне свой телефон. Так я нашёл моего друга.
Таксисту я дал небольшой подарок: марципану из Любека.

Отчёт о поездке

В июне (1) я летал в Россию на один меcяц из Франкфурта в Москву.
Когда я прилетел в аэропорт, взял мой рюкзак с багажной ленты.
Лев меня хотел встретится со мной в аэропорту.
Я вышел из зала и начал искать Льва, но его там не было.
Я вышел на улицу и продолжил искать его там, но его там тоже не было.
Я хотел позвонить ему, но мой телефон не работал.
Подошел таксист прешёл (2) и спросил, нужно ли мне такси.
Я ответил, что жду моего друга, но я не могу ему позвонить.
Он спросил у меня номер его телефона и позвонил моему другу.
Потом он передал мне свой телефон (3). Так я нашёл моего друга.
Таксисту Я подарил  таксисту небольшой подарок: марципану из Любека.

(1) в русском языке названия месяцев пишутся с маленькой буквы.

(2) порядок слов "подлежащее - сказуемое" на всегда строгий. Здесь мы обычно скажем "подошел таксист и ..."

(3) Думаю, что здесь вы хотели сказать что он набрал его номер телефона, а потом передал Вам трубку, чтобы Вы могли поговорить со своим другом