Corrected sentences...are they good?

Sétálok és nézeM a virágokat. ("a" virágokat - definite direct object so you have to use the ending "m" instead of "k")
The boy gives the ball to Kati.

A fiú Katinak a labdát adja.

A fiú Katinak adja a labdát. (You emphasise "Katinak" here and the word that you emphasise is always followed by the verb! )
I mow the lawn, and I plant flowers.
A füvet lenyirom és a virágokot ültetem.

Lenyírom a füvet és virágokAt ültetek.

(It's better to place "lenyírom" before "a füvet" because here you emphasise the verb itself - that you are mowing the lawn and not watering it etc. 

"I plant flowers" is indefinite - so you say "virágokat ülteteK" instead of ülteteM A virágokat)

I write a letter to you.
Egy levelet írok enged.

írok egy levelet NEKED./Egy levelet írok neked. 

In your sentence and in my sentence you emphasise "egy levelet" strongly. So you stress that it's a letter and not a card etc that you are writing. If you don't want to emphasise it, it is better to write: írok egy levelet neked.

engem - me (direct object)

nekem - me (indirect object - in English sentences often "to me")

"enged" - it doesn't exist:) But your way of thinking was good with the "d" at the end! However, "you" (direct object) is: TÉGED  and "you" (indirect object) is NEKED.

I buy a dog for Anna.
Egy kutyát veszek Annának.

Egy kutyát veszek Annának (helyes. ) Vagy: Veszek egy kutyát Annának. 

Again, the same thing applies here: if you say "egy kutyát veszek", you emphasise strongly that it's a dog you are buying and not a cat etc. It's more neutral to say: Veszek egy kutyát Annának.

So the word order always depends on what you want to emphasize in the sentence!

I hope it helps! :)

Corrected sentences...are they good?

I mow the lawn, and I plant flowers.
A füvet lenyírom és a virágokoat elültetem. - Better: Lenyírom a füvet és elültetem a virágokat/virágokat ültetek.  
I write a letter to you.
Egy levelet írok enged neked. - Note: "enged" = "to let"
I buy a dog for Anna.
Egy kutyát veszek Annának.