corrections

suggestions

新たな車

(日記を書き始める前に質問があるんですけど、「新た」と、「新しい」とは、何が違っていますか。)
( Before I begin I have a question。 What's the difference between 新た and 新しい？)

Maki has given you good explantions about the meanings and grammar, so I'll talk about how to use them in your post. I think 新しい車 usually means a brand-new car, so people say just '車を買った' or '車を中古で買った' to say they buy a used car. 新たな車 doesn't necessarily mean a brand-new car, so you've chosen the right words. But I have to say that this word '新たな' sounds a bit grand; it might sound like beginning an adventure waching the sun coming up. So, it's often used for the New Year or in adverts.

 So, this past Monday I bought a used car.

さて、この前の月曜日、中古車を買いました。 Perfect!

Our car is getting pretty old so it is time to buy a new one.

(私たちの)今の車は古いので、買い時です！

Our new car is a Prius and we're very excited!

 新たな車はプリウスで、 とっても嬉しいですよ！

 We have been wanting a Prius for a long time and finally we were able to buy one.

 かなり前からプリウスがほしくて、 やっと買うことができましたね。

よ and ね are never mistakes, but they just make these two sentences unnatural. Otherwise, I think they sound completely natural in a casual way.

I don't know whether it will last a long time but we will take good care of it.
comp
長持ちするか／長く乗れるかどうか分からないけど、 きちんとメンテナンスをする／きちんと手入れをする／丁寧に扱うつもりです.

'長く乗れる' sounds casual. The three corrections in the later part of the sentence have different meanings.
 
 読んでくれてありがとうございます。 よろしくお願いします。 Perfect!

Good luck with your Japanese and car!

新たな車

(初めての前に質問があるんですけど。新たと、新しいと、何が違っていますか。)
( Before I begin I have a question。 What's the difference between 新た and 新しい？)

the differences in nuance between 新た and 新しい is difficult.

i think...

新た　→　[形容動詞]　今までにない様子　/　元々あったものを別のものにかえる

image) renewal, refresh

新しい　→　[形容詞]　今までにない　/　初めて

image) new, fresh

 So, this past Monday I bought a used car.

さて、この前の月曜日、中古車を買いました。

Our car is getting pretty old so it is time to buy a new one.

私たちの 今の車は古いので、時間です！ 買い時です！

Our new car is a Prius and we're very excited!

 新たな車はプリウスで、 とっても嬉しいですよ！

 We have been wanting a Prius for a long time and finally we were able to buy one.

 かなり前からプリウスがほしくて、 やっと買うことができましたね。

I don't know whether it will last a long time but we will take good care of it.

長く続くか分からないけど、 よく預るつもりです. 大切にするつもりです。


 読んでくれてありがとうございます。 よろしくお願いします。

プリウス大切に！