Die Probleme

1. Frankfurt a.d. Oder = Frankfurt an der Oder
Im Gegensatz zu: Frankfurt a. M. = Frankfurt am Main

2.  Viele Menschen ziehen nach Berlin. Deshalb fehlen Wohnungen. =
Many people move to berlin. Therefore there are not enough flats.

3. Am Wochenende bleiben die meisten Berliner am liebsten in der Stadt. =
During the weekend, most inhabitants of Berlin prefer to stay in the city.

4.Why people use "diesen" in the sentence-Was kann man diesen Leuten schenken?
It's a demonstrative article: diese Leute = these people; die Leute = the people
Image: You point with a finger at these particular people, instead of just generally talking about people.

5.Bitte antwortet sie bis Donnerstag oder ruft sie an.
Is this sentence correct? If I want use it at the end of my letter to two friends.
[You don't use a pronoun for the normal imperative form (both sg. and pl.). Only the polite form uses a pronoun: Bitte antworten Sie. Bitte rufen Sie an.]