유감스럽게... 제 직장에서 동류들은 내가 다이어트를 시작하는 것이 안다.

유감스럽게도... 제 직장에서 동료들은 내가 다이어트를 시작하는 것이을 안다.

-> 유감스럽게도 is more natural.

Generally u feel confused between nominative postposition '-이' and objective postposition '-을'. In this situation, u have to use objective postposition '-을' rather than nominative postposition '-이'.

-> choose only one style between arabic numerals and korean style numerals.

ex) 2018년 9월 2일 or 이천십팔년 구월 이일

지난 수요일, 우리의 원장님은 케이크를 사 가졌다. 점심 후에 난 케이크 한 조각을 먹기 거부했다.

-> 사갖고 오셨다(왔다) / 사오셨다(사왔다). First one is used to describe and highlight manager's bringing the cake.

동료들은 왜 갑지기 안 먹으냐고 물어봤다. 다이어트를 시작했냐고 계속 계속 말했고

-> 보았다 / 봤다. The latter is acronym of 보았다.

Actually, your sentences is grammatically correct. but u'd better combine those into 1 sentence, because they has similar contents.

How about this? 동료들은 왜 갑자기 안 먹으냐, 다이어트를 시작했냐고 계속 계속 물어봤다.

제 대답은 “제가 건강을 위해서 설탕만 빼려고 해요”라고 했지만

-> Let's make this sentence simple. 제 대답은 "~" 했습니다. 하지만, ..

It's incorrect since you can answer it or your answer is like that, but your answer can't do this. so you have to change it like that:

1) 제 대답은 "~" 이었습니다. 하지만, ..

2) 저는 "~"라고 대답했습니다. 하지만, ..

동료들은 내가 다이어트 중인 것을 잘 알고 있는 것 같다. 나의 큰 비밀! 큭 창피! 큰 스트레스!

-> Because you can guess your colleagues already know your keeping in shape but you can't assure it, you have to finish it as guessing sentence.

동료들은 내가 다이어트를 시도하는 것이을 아니까 지금 의심할 여지없이 내가 살 빼는 것 실패할 수 없다!

내가 살이을 빼지 않는다면 결국 동료들은 명백히 알아볼 것이다.

동료들의 눈길이 내게 영감을 준다.

-> Actually it's not incorrect grammatically, but it's awkward. You can use 영감을 주다give an inspiration in English, but in this situation, u'd better use 내가 마음을 다잡게 한다.

그래서 오늘 식당에서 큰 많은 밥이나 기름이 있는진 저녁을 먹기는 것 대신 내가나는 헬스장에 한시간 동안 다니고 집에서 건강한 저녁을 만들어 먹었다. 

-> Usually u'd better choose 많은 rather than 큰 with 밥. Also if u wanna say greasy food, u'd better use the word 기름진(u can find it as 기름지다 in dictionary). 저녁을 먹기 is also possible grammatically, but 저녁을 먹는 것 is more natural than original one.

보통 내가 다이어트 하기는 것을 노력하면 자꾸 자꾸 포기하는데다가 살이 찌게 된다.

-> This sentence is grammatically correct but it doesn't make sense in Korean. Actually, ur original purpose would be like this: usually i try to keep in shape, finally i give it up so it results in gaining my weight. right? If so, It's more natural for u to make a sentence.

보통 내가 다이어트를 (노력)하려 해도, 결국 포기해서 살이 찌게 된다.

              (original purpose), ~하려 해도, 결국 (result) 한다.

오늘부터 아침마다 일에 퇴근하기 전에 나는 헬스장에 다니려고 노력하겠다. 매일 설탕이나 먹고 싶지만 설탕이 많이 든 스낵 대신 아몬드와 같은 간식을 먹을 것이다. 오후 여덟시 후에까지 먹기는 것을 끝내고 아주 일찍 (열 시쯤) 잠을 자려고 한다.

-> 후에 stands for 'after that', but i think ur original purpose would be 'up to' or 'by'. So '까지' is more natural.

내가 아침은 저녁보다 더 좋은 다이어트 결정을 하는 편이다.

-> Actually i can't find out what u wanna say. sorry.