Извини, что я звоню только сейчас.

Ты звонил мне уже раньше на этой неделе, но я не был успел ответить на звонок.
The whole sentence sounds unnatural IMO. It has so much information, which doesn't really have any connection to the rest of the text. Something must go away. And I think the problem's in "уже раньше". It's doubling the meaning. Either you keep one of them, or take them all out, because you point out the time the call happened -- "на этой неделе". And you're talking only about this week, the events that took place, so let's keep it simpler:
Ты звонил мне на этой неделе, но я не успел ответить.

Я Cожалею/Прости/Извини!
"Я сожалею" sounds way more official than you need in order to ask for excuse from a friend.
"Сожалею"  is less official, but still, you'd rather say that to business partner in your business letter.
"Прости/Извини" are much more appropriate here as you talk to your friend.

У нас было много экзаменов и коллективной работы в университете.
У меня ещё есть Мне нужно сдать еще одно эссе о финском языке и экзамен по русскому языку.
"У меня ещё есть" says that you possess smth. But here, I assume, you're trying to say that you're going to need to write an essay and pass an exam. In Russian you can say "pass an essay and exam"
Потом весны курсы мимо! Весной курсов не будет.
I'm not sure what are you trying to say, but I think you are willing to point out that there's going to be no courses this Spring.

Я продолжу изучать на летом, но я надеюсь, я тоже могу отдохнуть.
Kesällä won't work here that way :) You don't have to put position preposition "на". Just "летом".

В среду я свободен. А ты? Хочешь пойти в кино? В Финнкино идёт новый фильм "Инфинити Вар". У меня есть два бесплатных билета.

Звоните мне. Пока!
Keep it unofficial the whole letter/call. So "звоните" is how you talk to a group of people or to a person you're not in a friendship with.
"Звоните" = soittakaa  OR talking officially
"Звони" = soita

Извини, что я звоню только сейчас.

Please give me the advice in English! I'm not advanced enough in Russian to understand complicated instructions, so I would like to have the corrections done in Russian and the explanations in English. Thank you! This is an exercise I have on my Russian textbook.

------

Извини, что я звоню только сейчас.

Ты звонил мне уже раньше эта неделя, на этой неделе, но я не был успеть не успел ответить на звонок. Я сожалею! У нас было много экзаменов и коллективная работа в университете. У меня ещё есть один эссе о финском языке и экзамен русского языка. Потом весенние курсы мимо будут! Я продолжу обучение  летом, но я надеюсь, что тоже потом смогу отдохнуть.

В среду я свободен. А ты? Хочешь пойти в кино? В Финнкино идёт новый фильм "Война бесконечности". У меня есть два бесплатных билета.

Звоните мне. Пока!

Извини, что я звоню только сейчас.

Please give me the advice in English! I'm not advanced enough in Russian to understand complicated instructions, so I would like to have the corrections done in Russian and the explanations in English. Thank you! This is an exercise I have on my Russian textbook.

------

Извини, что я звоню только сейчас.

Ты звонил мне уже раньше на этой неделе, но я не успел ответить на звонок. Я сожалею! (It’s better to say «извини», «я сожалею» sounds unnatural, not as a native speaker would speak). У нас было много экзаменов и коллективной работы в университете. У меня ещё есть один эссе о финском языке и экзамен по русскому языку. Потом весны курсы мимо! (That sentence is not clear what you are trying to say? It literally translates to: “later spring courses passing by” :) ) Я продолжу учиться летом, но я надеюсь, что тоже смогу отдохнуть.

В среду я свободен. А ты? Хочешь пойти в кино? В Финнкино идёт новый фильм "Инфинити Вар". У меня есть два бесплатных билета.

Звони мне. Пока! (It should be consistent «ты» or «вы» throughout, «ты» is for communication with friends, «вы» is more official and for people you don’t know well)

Извини, что я звоню только сейчас.

Please give me the advice in English! I'm not advanced enough in Russian to understand complicated instructions, so I would like to have the corrections done in Russian and the explanations in English. Thank you! This is an exercise I have on my Russian textbook.

------

Извини, что я звоню только сейчас.

Ты звонил мне уже раньше эта неделя, но я не был успеть ответить на звонок. Я сожалею! У нас было много экзамены и коллективный работы на университете. У меня ещё есть один эссе о финском языке и эксамен русского языка. Потом весны курсы мимо! Я продолжу изучать на летом, но я надеюсь, я тоже могу отдохнуть.

На среду я свободен. А ты? Хочешь пойти в кино? В Финнкино идёт новый фильм "Инфинити Вар". У меня есть два бесплатных билета.

Звоните мне. Пока!

Извини, что я звоню только сейчас.

   Ты звонил мне на этой неделе раньше, но я не успела ответить на звонок. Я сожалею! У нас было много экзаменов и коллективной работы в университете. У меня ещё есть одно эссе о финском языке и экзамен по русскому языку. Весной я пропустила курсы! Я продолжу изучать летом, но я надеюсь отдохнуть тоже.

   В середу я свободна. А ты? Хочешь пойти в кино? В Финнкино идёт новый фильм «Инфинити Вар». У меня есть два бесплатных билета.

 Позвони мне. Пока!  

Please give me the advice in English! I'm not advanced enough in Russian to understand complicated instructions, so I would like to have the corrections done in Russian and the explanations in English. Thank you! This is an exercise I have on my Russian textbook.

------

Извини что я звоню только сейчас.
                за столь поздний звонок.

Ты звонил мне уже на прошлой неделе, но я не был успел ответить на звонок. Я Сожалею! У нас было много экзаменов и коллективной работы на в университете. У меня ещё есть одно (средний род) эссе о финском языке, и а также экзамен по русскому языку. Потом После  весны курсы пройдут мимо! Я продолжу изучать обучение на летом, но я надеюсь я тоже могу отдохнуть  и на небольшой отдых.

На В среду я буду свободен. А ты? Хочешь пойти в кино? В Финнкино покажут новый фильм "Инфинити Вар". У меня есть два бесплатных билета.

Звоните (сообщение от || лица)
Звони мне. Пока!