PT-PT

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1. Março = March. We are in December = Dezembro now.

2. "Agente" é da polícia. No Brasil eles usam muito "A gente" beside of "Nós" = We. "Agente" = Agent. 

3. https://www.priberam.pt/dlpo/pegar 

The mistakes are in red and suggestions on how to improve the sentences are in blue, based on how we speak in Portugal.

() = Option or information

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Pegar is basically "to take"

Eu pego um livro na prateleira (I take/grab a book from the shelf)

Eu pego um ônibus (I take a bus)

Eu pego um  trem (I take a train)

Eu pego um taxi (I take a cab)

BUT... there are other meanings... Informally (slang)it can mean you met someone, for example, and kissed him/her or had sex...

Peguei aquela menina bonita... (I made out with that cute girl)

Take a look at the dictionary "aulete"

http://www.aulete.com.br/pegar

PT-BR

Legenda:

Em verde: correções e adições obrigatórias;

entre colchetes e em negrito: sugestões e opções de adições e alternativas, e observações;

em vermelho e riscado: erros a ser(em) excluídos, mantidos na correção para que possa observá-los.

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Olá, [daqui] de São Paulo! Na verdade, [ou: 'Para falar a verdade,'] é hoje foi o meu primeiro dia passeando pela cidade. Acordei bem cedo porque queria [ou: '[...] cedo para poder'] chegar na [ou: 'à'] rua 25 de Março [nome próprio da rua em maiúsculo, ao contrário do mês] para fazer compras. [A] Minha namorada comprou uns brincos [lá]. Depois, a gente foi a comer no [ou: 'num/em um', já que você não está especificando um mercado aqui] mercado. A comida brasileira é ótima. Depois do Natal, eu preciso [ou: 'vou precisar'] começar [a frequentar] uma academia [ou: 'começar a malhar' (start to work out)].

Não entendo [ou, bem melhor: 'sei'] muito bem como usar o verbo "pegar"... Está correto [naquele contexto/naquela frase/na frase acima] [ou, por exemplo: 'Utilizei corretamente na frase acima']?

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O pessoal aí embaixo já deu boas explicações sobre esse verbo. Qualquer outra dúvida, só comentar que te ajudo. Parabéns pelo texto!

CONTINUA...

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8º "foi a comer na no mercado." = Compreendi seu erro... você pode dizer assim: "foi ao mercado (para) comer", o "para" é facultativo. Mas muitos falam no dia a dia assim: "a gente foi comer no mercado".

9º do natal = a festividade. Usar o de é mais usado para a cidade Natal (uma cidade brasileira). Por exemplo, neste contexto: "a distância de Natal à Cotia é de aproximadamente 3 mil quilômetros."

10º ir a ou ir à = fica mais natural, eu também tenho dificuldades com o get no inglês.

11º correto(a) = é a forma correta no português brasileiro, nos outros países de língua portuguesa usa-se a palavra correcto(a).

Você foi muito bem, continue praticando, boa sorte na academia após as festividades!