Yo personalmente no usaría ninguna de las dos frases anteriores para preguntar por la fecha. Estas son mis sugerencias; ¿A qué día estamos hoy? (Para utilizar la pregunta que tu propones tiene que ser muy evidente que estás preguntando por la fecha, si no quieres malentendidos). ¿Qué día es hoy? (Tu segunda propuesta es perfectamente clara y se entiende, pero su uso no es muy común).