ЗАЯВЛЯЮТ обычно свою личную позицию/личное мнение/требование.
ОБЪЯВЛЯЮТ некое сообщение (свершившийся факт), как правило, большому количеству лиц.
Например:
Вчера он ЗАЯВИЛ , что не собирается работать на заводе.
По радио ОБЪЯВИЛИ чрезвычайное положение.