Rigorosamente falando, há uma distinção entre os dois vocábulos: após é preposição – liga palavras ou termos de uma oração: ano após ano, um após outro, Pedro após Paulo;
depois é advérbio – basicamente modificador do verbo: falaremos depois; vou depois. E temos ainda a locução prepositiva depois de, que rege um substantivo ou um pronome: depois da chuva, depois de mim, depois de você.