我喜欢游泳

第三次。

  (I am not sure what this is refering to, Is this your third note? If so, probably 第三篇 will be better)

我要写过去式。

(You want to write something happend in the past? try this 我要写以前的事)

二十年前我开始游泳。

(you mean you learned how to swim 20 years ago. 我学会了游泳是在二十年前)。

那时候，（a comma here will be better)我的游泳老师是一个男人

（‘My swim coach is a man' is fine in English, but in Chinese we usually say 教我游泳的老师是个男的, not 男人，but 男的）。

他三十五岁。那时候我七岁。

当时我开始参加游泳比赛

(Since it happened in past, 开始 is not very correct here, should be 那时我还参加了游泳比赛)。

我一星期游泳三次

(游 is a verb and 游泳 is a little more noun, so this sentence should be 我一星期游三次 or 练三次）。

那时间我跟我二哥和我大哥参加游泳比赛。

(那时间is not right, should be 那时候)

我比我二哥游泳快。我比我大哥游泳慢。

(It's a little verbose, 我游的比二哥快，但是比大哥慢. same as before we use 游 here instead of 游泳)

十年以后，我们一星期游泳八次。

（please remove 泳, since this mistake is all over this note, so I won't point it out again.)

星期二和星期四我们一天游泳二次。

(每个星期二和星期四我们都去游两次，twice per day ? Seriously what else do you do?)

我们游泳一万二千米了。

(I am not sure what are you trying to say in this sentence, you can swim 12,000 miles a day? Impressive, also a little scary. Again what else do you do?我们日游一万米都不够，哈哈，还得再加2000米，厉害吧)

我们都游泳特别快。 (我们都游的特别快。Sure, if you swim 12,000 miles a day, you have to swim fast...)
当时我大哥和我二个去大学。

(not 当时, but 后来. 后来我大哥和二哥去上大学）

他们参加游泳比赛了。（并且参加了学校的游泳比赛。）

可是我肩膀疼了。我去大学。那时间不参加游泳比赛了。

( I guess you are trying to say 我的肩膀伤了？所以我在大学的时候，参加不了游泳比赛，not 不参加，不参加means you can but you choose not to, it's actually you can't because the pain in your shoulder, so should be 参加不了)
 
现在我肩膀不疼(should add a 了)，我(又)可以游泳(了)。我喜欢游泳。现在我二哥比我游泳快。我大哥比我也游泳快。