To put it simply, почему = why (asking about the cause): Почему Земля вращается? зачем = what for (asking about the reason): Зачем ты это сделал?

I am totally agree with previous opinions, but add that POCHEMU is question of curious child and ZACHEM is question of lazy employee)

Anny is absolutely right. I just want to correct your question. Когда говорят "зачем", а когда - "почему"? И почему? или Когда используют "зачем", а не "почему"? И почему?

These words are very similar. E.g. For what do you want to buy this bag? Zachem - Зачем. It means - dlia chego, zachem - Для чего, зачем. Для какой цели ты купил эту сумку? Для чего ты купил эту сумку? Например, для продуктов. Why did you buy that bag? Pochemu - Почему. It means - otchego, pochemu. - отчего, почему. Почему ты купил именно эту сумку? Например, потому что у меня хватило денег только на эту сумку.

It depends on the situation. "Зачем" and "почему" often mean the same. But nevertheless you ought to know that "зачем?" means "for what purpose?" and "почему?" means "because of what?" For example, "Зачем/почему он приходил?" "Почему (not "зачем") трава зеленая?"