Ein "Mitgefühl" kann man immer ausdrücken. Das "Beileid" geht nur im Todesfall. Allerdings ist der Satz "Ich möchte Ihnen mein Mitgefühl ausrücken", wie schon in anderen Beiträgen gesagt, sehr formell und so gesagt kommt es nahe an das "Beileid" heran. Das Gleiche gilt wenn man nur sagt "Mein Mitgefühl!". Sagst Du aber "Da fühle ich mit Ihnen" geht es immer, sogar wenn es sich im etwas erfreuliches handelt.

Es ist sehr formell und für schlimmere Sachen, als den Verlust von einem Haustier zu verwenden, aber das wichtige ist, dass es ernst gemeint ist.

Ja. Auch, wenn jemand schwer krank ist. Oder wenn er etwas Wichtiges verloren hat. Normalerweise sagt man "Es/Das tut mir leid."

diese Phrase sagt man nur beim Tod eines Angehörigen!!

Natuerlich kann man.