Olá! Há modos um pouco diferentes de dizer isso. Literalmente, seria "antecipadamente", "adiantado", "com antecedência"... Depende da frase em que você estiver usando a palavra. No caso da frase que você usou, na fala do dia-a-dia, você pode dizer "feliz aniversário adiantado".

Olá Ali! Você pode dizer de várias maneiras, por exemplo "antecipadamente", "antecipado", "adiantado" ou "com antecedência". Acho que o mais usado é "Feliz aniversário adiantado", mas as outras formas são populares também.

You could use the word "desde já" for emails and requests. If you want to say something like happy birthday, or happy holiday in advance the better word is " antecipadamente " or maybe "adiantado" this last one is for informal cases.

Ex:Agradeço desde já; (for requests)

Thank you in advance.

Desejo antecipadamente um feliz Natal.(for formal cases)

I hope you have a Merry Christmas in advance.

Feliz Aniversário adiantado! (Informal)

Happy birthday in advance.

Feliz aniversário adiantado