Piangere è dovuto a un'emozione ed e usato comunemente in cintesti come piangere di rabbia, piangere di gioia etc. Lacrimare invece è dovuto per esempio ad un'infezione, irritazione o al fumo ed e' riservato a questi contesti Nel commento te lo ho spiegato in inglese, per chiarezza

Piangere è l'azione di produrre e rilasciare lacrime (lacrimare) in risposta ad un'emozione, sia essa negativa (dolore), che positiva (gioia). Lacrimare è esclusivamente la sola azione del rilasciare lacrime che può manifestarsi sia nel pianto (piangere) ma anche in altre occasioni a seguito di solecitazioni esterne dell'occhio (irritazioni, etc..). In pratica si piange per un dolore o una gioia e si lacrima tagliando le cipolle.

piangere: cry lacrimare: eye-watering

Piangere : to cry rather caused by an emotion (ho pianto di felicita) Lacrimare : to shed tears rather a mere physiological activity (ho lacrimato per il gran fumo/ gas lacrimogeni-tear gases)