"an" drückt grundsätzlich mehr Nähe aus als "bei". Jetzt ist Nähe leider je nach Kontext ein sehr fließendes Konzept, daher macht es wirklich Sinn einfach Standardphrasen zu memorisieren. Was die Nähe zu Personen angeht, ist es z.B. immer "bei" und nie "an". Man kann bei jemandem sein, aber nicht an jemandem, weil das bedeuten würden, dass man der anderen Person direkt anhaften würde. Was die Nähe zu Dingen betrifft sind die Begriffe "an" und "bei" oft ohne dass es aufällt austauschbar. Hier heißt "an" nicht unbedingt anhaften sondern eine größere Nähe in Relation zu "bei". Ich kann an der Ampel stehen. Ich klebe deshalb nicht an der Ampel aber ich stehe doch ziemlich nah daneben. Ich kann auch bei der Ampel stehen. Da kann ich sowohl nah bei der Ampel, aber durchaus auch gern ein paar Schritte weiter entfernt stehen. Das sind aber Feinheiten, die die wenigsten Muttersprachler beachten (ähnlich wie mit dem Unterschiede von "das Gleiche" und "das Selbe"). Bei Orten ist es ähnlich. Ein kleiner Ort, der an einem größerem Ort liegt, schließt ziemlich direkt an diesen an. Ein kleinerer Ort, der bei einem größeren Ort liegt, kann durchaus einige Kilometer entfernt liegen.

I think we use "bei" if things are not so close (fixed /connected /attached) to each other. Ich denke, wir benutzen "bei", wenn Dinge (/Sachen) nicht so eng miteinander verbunden sind. about/ungefähr: "bei" = at, nearby, near, next to, ... "an" = at, with, on, upon, to, ... You have to learn the whole (/complete) phrases to avoid mistakes or else it would sound strange. Du musst die ganzen (/vollständigen) Sätze lernen, sonst würde es merkwürdig (/fremd) klingen.

Oh that question doesn't seem so easy. Too be honest I don't think that a german native speaker can really help you here because we don't really know that much about our own grammar :D, so I advise you to study really hard the grammar in that area, but well let me try. "An" is a preposition so it can be used in a local way as 1) local declaration (where) "An der Bushaltestelle; An der Schule wird man unterrichtet; Das Bild hängt an der Wand; An diesere Stelle des Buches ..."and in a temporal way as 2) declaration of the moment "An diesem Tag kann ich nicht zur Schule gehen;" "Bei" is unfortanetly mostly used for the same cases :D but it marks more often the location of something or someone: "Bei ihm steht ein Stuhl; Bei der Schule gibt es ein Restaurant (means near the school); Bei dieser Aufgabe musst du aufpassen(hier "bei" is simply referring to a know exercise). Well you see that isn't something to be explaned in one or two words and I think that's what foreigners have to fight with the hardest. The best way to get a "feeling" for this is to read read and read :D and hey it's way easyer than learning 2000 chinese charakters ;D