Não há diferença alguma. Chamamos de sinônimos (palavras com o mesmo significado)

As duas palavras existem na língua portuguesa. São palavras sinônimas e ambas estão corretas. Contudo, a palavra esquentar é a mais utilizada no português do Brasil enquanto a palavra aquecer é a mais utilizada no português de Portugal. Estes dois verbos se referem ao ato de tornar alguém ou alguma coisa quente.

Os dois têm basicamente o mesmo significado, mas uma diferença sutil: "Aquecer" soa mais leve do que "esquentar" que leva a crer que a temperatura seria mais alta.

Não há diferença. Porém, "aquecer" soa um pouco mais formal para mim.

aquecer a.que.cer [ɐkɛˈser] conjugação verbo transitivo, intransitivo e pronominal 1. tornar ou ficar quente 2. preparar(-se) antes de uma atividade física intensa 3. dar ou receber conforto 4. figurado animar(-se); entusiasmar(-se) 5. figurado encolerizar(-se), irritar(-se) verbo transitivo manter (motor de automóvel) a trabalhar durante algum tempo (para que este atinja a temperatura ideal de funcionamento) nem aquece nem arrefece tanto faz, tem pouca importância Do latim ad-+calescĕre, «aquecer», incoativo de calēre, «estar quente» esquentar es.quen.tar [(i)ʃkẽˈtar] conjugação verbo transitivo 1. dar ou causar calor a; aquecer 2. figurado irritar verbo pronominal 1. acalorar-se 2. figurado irritar-se De es-+quente+-ar Nota: como o Emerson disse bem a palavra esquentar é a mais utilizada no português do Brasil enquanto a palavra aquecer é a mais utilizada no português de Portugal