Für ein Zweck oder Ziel benutzt man "um zu" (Englisch: "in order to"), sonst "zu". "Bestellen und bezahlen" ist das Ziel, also "um zu": 1) Der Student identifiziert die Getränke im Café durch die Beobachtung der Bilder und das Hörverstehen um (!) hinterher zu bestellen und bezahlen. Der Student identifiziert die Getränke durch die Beobachtung der Bilder und das Hörverstehen um (!) hinterher im Café (!) zu bestellen und bezahlen. 2) "Identifizieren" kann sowohl der reine Infinitiv (in einem Infinitiv-Teilsatz) als auch ein Substantiv sein. Beim Substantiv steht das Attribut im Genitiv: a) Identifizieren der (!) Getränke in einem Café um (!) zu bestellen und bezahlen. b) Die Getränke in einem Café identifizieren (!) um zu bestellen und bezahlen c) Identifizieren der (!) Getränke in einem Café zum Bestellen und Bezahlen. Alle obigen Varianten sind möglich, natürlicher ist z.B.: Der Student erkennt die Getränke im Café an den Bildern und durch Fragen und Verstehen der Antworten, um hinterher zu bestellen und zu bezahlen