Это синонимы. По-разному употребляются в определенных сочетаниях. "Тебе надо/нужно сходить к врачу" - равносильно в употреблении с глаголом (сходить). "Мне нужно твоё мнение" - в этом случае "надо" сказать нельзя, только "нужно" (при употреблении с существительными среднего рода). Еще пример: "Ну надо же!" - удивление. Если сказать: "Ну нужно же!" - будет совсем другой смысл.

нужно - более мягкая форма, говорит скорее о внутренней потребности. надо - более жесткая форма, скорее внешнее требование, условие, приказ.