la pregunta está en pasado porque es una acción ya terminada. "habló con el director" La acción que deriva de ese encuentro se realizará en el futuro, "trabajarán el próximo sábado" por lo que se puede usar el presente o también en futuro, puedes decir: "Tenemos que trabajar el próximo sábado" ó "Tendremos que trabajar el próximo sábado" ó "Trabajaremos el próximo sábado", hay muchas formas de decirlo. No se si te he ayudado... o te he liado más...

¡Tienes razón! la pregunta está en pasado, pero se usa 'tenemos' porque la indicación que dió el Director es para el futuro (el próximo sábado). Espero que te haya podido ayudar en algo :)

"Que _tenemos_ que trabajar el próximo sábado." es mas natural y comun, aunque no seria raro escuchar "Que _teniamos_ que trabajar el próximo sábado. ambas las entenderia de igual manera.

Me acogo al criterio de que la conversación es en presente y la acción es para futuro, ya que la misma est´ña por cumplirse. Con respecto a la pregunta sopnaría más natural: Pero el director lo está diciendo en tiempo pasado, no?.

Porque la respuesta está en Pretérito de indicativo. Por ejemplo : Con el verbo ( hablar) yo: hablé tú: hablaste Ud./él/ella: habló nosotros, -as : hablamos vosotros, -as : hablasteis Uds./ellos/ellas: hablaron