Dans la deuxième phrase, le mot "au" est la contraction de "à le". Le mot "carrefour" est masculin, on dit donc "le carrefour", "continuer jusqu'au carrefour". Il serait incorrect de dire "continuer jusqu'à le carrefour". Dans la première phrase, le mot "bibliothèque" est féminin, on dit donc "la bibliothèque", "passer du temps à la bibliothèque". Il n'y a pas de contraction pour "à la".