Так можно сказать. Всё правильно.

I'd say, "Моя подруга сказала, что когда она иммигрировала в Америку, она немного говорила по-английски."

Все правильно, грамматика в норме! Что касается порядка слов и пунктуации, то естественнее звучит: <<Моя подруга сказала мне, что, когда она эмигрировала в Америку, она немного говорила по-английски.>> Вариант "иммигрировала" также возможен. В словаре: ЭМИГРИРОВАТЬ, -рую, -руешь; св. и нсв. Переселиться - переселяться из своего отечества в другую страну. Э. в Израиль. Он эмигрировал десять лет назад. ИММИГРИРОВАТЬ, -рую, -руешь; св. и нсв. [от лат. immigrare - вселяться] куда. Вселиться - вселяться в какую-л. страну на постоянное жительство (об иностранцах). И. в Россию.

I would say (Моя подруга сказала, что когда она иммигрировала в америку, она немного заговорила на английском)

Немного подкорректирую Ваш вопрос. "Я хочу знать, правильна ли грамматика или нет" - грамматически это предложение правильно, НО мы так не говорим. "Я хочу знать" sounds too straightforward. It would fit in this situation for example: Босс: "Я хочу знать, когда будет готов проект!" Поэтому здесь нужно сказать: Мне хотелось бы понять, правильна ли здесь грамматика. ИЛИ Мне хотелось бы понять, правильна здесь грамматика или нет.