후 of -(으)ㄴ 후(에) is Sino-Korean word 後. -고 나서 is pure Korean word -(으)ㄴ 후(에) is more commonly used literally -고 나서 is more commonly used colloquially

"고 나서 and (ㅡ)ㄴ 후에" 세수하고 나서 아침을 먹습니다. 세수한 후에 아침을 먹습니다. The two sentences are about the same. ~한 후에, ~한 다음에 (다음 = next), ~고 나서 all mean "after doing (something)". In real life, we would just say 세수하고 아침을 먹습니다 for this simple case, which means about the same thing. Verb+고 implies a sequence of actions like English "and", and is widely used for this. The other expressions emphasize this sequence aspect( "after doing something") more.

There is no special difference between them. 세수하고 나서 아침을 먹습니다. = 세수한 후에 아침을 먹습니다.