Ja, "Urlaub machen" ist eine feste Wendung. "Urlaub am Meer" und "Urlaub in den Bergen" kann man auch als feste Wendungen ansehen, wenn man auf die jeweils typischen Aktivitäten (Schwimmen, Tauchen, Wasserskifahren usw. beziehungweise Wandern, Klettern, Ski- und Snowboardfahren) abheben will. Deine Lehrerin hat deshalb deine Formulierung zu Recht korrigiert. Das Problem ergibt sich daraus, dass ihre - "Er möchte gern in den Bergen im Winter Urlaub machen." - auch nicht viel besser ist. Sie hätte schreiben sollen: -> Er möchte gern im Winter Urlaub in den Bergen machen. Damit wäre gesagt wann (im Winter) er was (Urlaub) wo (in den Bergen) machen will und implizit auch noch, welche Art von Urlaub er wohl plant (Urlaub in den Bergen = Ski- oder Snowboardfahren etc.). Was auch noch gegangen wäre, ist: -> Er möchte gern im Winter in den Bergen Urlaub machen. Hierbei würde die Betonung mehr auf dem Wo und weniger auf dem Was liegen. Ganz analog ergibt sich, dass die beste Formulierung für Urlaub am Meer lautet: -> Er möchte gern (im Sommer/mit seiner Familie/ganz allein/endlich mal/richtig schön usw.) Urlaub am Meer machen. Ganz allgemein gilt im Übrigen, dass man im Deutschen die Wortreihenfolge der Sätze stark variieren kann, aber natürlich nur, wenn dies inhaltlich begründet ist, z.B. weil ein bestimmter Aspekt der Aussage betont werden soll. Der Sinn einer solchen Abweichung von der normalen Wortreihenfolge ergibt sich oft erst aus dem Kontext.

Es ist keine Redewendung. Im Deutschen wird oft das Prädikat getrennt. Zum Beispiel: "Wir möchten machen Urlaub am Meer", aber wir Deutschen stellen "machen" an das Ende des Satzes. Richtig ist also: "Wir möchten Urlaub am Meer machen" oder " Wir möchten am Meer Urlaub machen".