Empfehlungsschreiben ist richtig! Korrektur der Anfrage: Nennt man einen Brief von ihrem/seinem Professor, durch den man eine größere Chance bekommt, an einer Universität aufgenommen zu werden, "Empfehlungsbrief"?

Empfehlungsschreiben ist das bessere Wort.

Du kannst entweder sagen: "Kann ich von Ihnen ein Empfehlungsschreiben bekommen?" oder aber: "Können Sie mir einen Empfehlungsbrief schreiben?" Das ist nicht falsch, nur "Empfehlungsschreiben" klingt besser.