Aquí en Estados Unidos, "I don't have money" es la forma más común. "I haven't money" suena más antiguo, como del siglo XIX. Puedes decir también "I don't have any money", que quiere decir que no tienes dinero en absoluto. El auxiliar "do" es usado junto a otro verbo. "Do" pone énfasis en la frase, por ejemplo diría "I do have a lot of money" si alguien me preguntara "You don't have any money?". Es cómo decir "Sí tengo mucho dinero!" Igualmente, para el pasado se usa "did" para enfatizar la acción performada. Por ejemplo, "I did sing last night" si se implicara que no lo hice. También, nota que en el habla el auxiliar "do/did" es acentuado y intensificado. Usualmente lleva el primario estrés de la oración. Espero que ésto te ayude - Español no es mi lengua nativa.