Слово "похолодать" обычно относится только к погоде, как Вы и написали в своём примере. А слово "простыть" сейчас почти всегда означает "простудиться", то есть заболеть простудой. В устаревшем русском языке слово "простыть" могло также означать "остыть" и относиться к какому-либо предмету.

Для начала хочу внести поправки в Ваш пример. Например: в Москве в среду похолодает до +13. (в некоторых словах в Вашем примере допущены ошибки) Слово "похолодать" относится к состоянию погоды, обычно это снижение температуры. Слово "простыть" относится к состоянию здоровья человека. Это слово можно заменить синонимом "простудиться", т.е. заболеть.

"он может учавствовать в этой фразе?" лучше сказать: оно (слово - среднего рода) может использоваться в этой фразе?

Да, все предыдущие ответы верны. Однако, в старину слово "простыть" применялось и к предметам. Например, суп совсем простыл. В настоящее время, конечно, так не говорят. Но изучая русский, вы можете столкнуться с устаревшими значениями некотрорых слов.

Простыть это значит заболеть, а похолодать, в смысле стать холодным, так говорят про температуру, но обычно про неё говорят так: -В Москве в среду температура опустится до -20. А вот пример со словом простыть: -Вчера было холодно, и мой сын простыл на холодном ветре.