Your question is very interesting.

The difference is very clear.

When we say something alive or moving, we say いる.

Question 3:
動物園に何がいますか。
I think I got this one, it's asking what's in the zoo (living things, not objects):
Could I answer so? 「動物園にたくさん人がいます。」

-> Yes, you're right because animals and people are alive and moving.

-> 何がありますか you want to know what is inside your school.

e.g. あなたのかばんの中には何がありますか？

Question 2：
デパートに何がありますか。(デパート doesn't move or isn't alive)
Same here, is it asking what's in / inside the dept. store? What could I answer to this?

-> The possible answer is 服がありました。レストランがありました。

Question 4:
あなたの国に何がありますか。
Is the question asking which is my country? Or what (living thing) is in my country? Any sample answer?

->This question is what does your country have? 

I would answer that 川があります。城があります。

If you were asked いますか, you answer something alive or moving, such as animals, insects, or people. 

If you were asked ありますか, you say what you have, goods, etc.

An interesting example, we say 人がいる。because 人 moves.

However, when the person died, we say 遺体（いたい body）がある。because the body doesn't move.

I hope I could help you.

質問１．あなたの学校には何がありますか。

+ 私の学校には大きな藤の木があります。

（／私の学校には大きな藤の木が植わっています。）

+ 私の学校には立派な図書館があります。

質問２．デパートには何がありますか。

+ デパートにはおもちゃ売り場があります。

+ デパートにはレストランがあります。

+ デパートには食料品売場があります。

質問３．動物園には何がいますか。

+ 動物園にはゴリラがいます。

+ 動物園にはキリンがいます。

　＊動物園には誰が来ていますか。

+動物園には幼稚園の子どもたちが来ています。

+今日は休園日ですから、動物園には誰も来ていません。

質問４.  あなたの国には何がありますか。

+私の国には富士山があります。

+私の国には温泉があります。

よろしくお願いします。