Hello
Sorry but I will have to correct in English since I couldn't speak Russian. :)

提醒： 他提醒我明天有数学考试。(great)

反对：她每次都反对我的想法。

发现：桌子下他发现他旧照片。
(I think it's grammatically correct. But to me, I prefer "他在桌子下面发现了他的旧照片。"  1. 在…下面=under ; 2. 他的旧照片 should add 的here. 的 can be ignore only when talking about people' relationship and places)

允许： 他不允许孩子们每天看电视。(great)

抱歉：如果我觉得我什么事做得不太好，我就抱歉。
(not really sure what do you want to say here. 1. If you think I did something wrong, I feel sorry. "如果你觉得我什么事做的不太好，我感到抱歉。" 2. If I did something wrong, I would feel sorry. "我觉得如果我什么事情做得不对，我会觉得很抱歉。")

怀疑：她怀疑她的决定问题是对的。(她怀疑她对这个问题的决定是对的。)

判断： 今天我应该判断你的问题。(判断don't go with 问题! 判断……对错 is correct.)

Ruby Lu