私の初めてのエントリです!

こんにちは。私の名前はジョナサンです

日本語を楽しみにして習います。 私の夢はいつの日か日本語がペラペラになることです。

楽しみにする means "looking forward to something".

if you want to express some feeling like enjoying, with fun as you learning Japanese, then you should say;

日本語を楽しく習っています。

in this sentence 習っています is progressive form.

日本の文化と日本料理をファンです。

our honor! you're a fan of Japanese culture and food.

in this sentence "of" could be translate to 「の」. this is possessive particle, so if you say;

日本の文化と日本料理のファンです。

this literally mean "Japanese culture and food's fan."

いつか日本に本当に住みたいです。 私も僕のバンドで日本をミュージックツアーしたいです。

私 and 僕 have same meaning.

so you should have a standard in one article, which word (俺、私、ぼく) is to use.

日本でには多くのロックミュージックのファンがあるいるそうです!!

ある generally is used in sentences which subjects are not living things.

if your sentence's subject is living thing (like "fan"), you should use いる to mean "to be" or "there is".

読んでくれてありがとうございます。

likewise!

 私の夢はいつかの日か日本語がペラペラになることです。

Sounds more natural to me.