мне (кого? – Род. пад.) Меня зовут Джо, я живу в Шотландии и я хочу улучшить улучшить (better: увели´чить / повы´сить / расши´рить) мой (or свой) словарь словáрный запáс.  

Удачи! :))) 

First notebook entry: Introducing myself

меня зовут Джо, я живу в Шотландии и я хочу улучшить мой словарный запас (моё знание языка).

First notebook entry: Introducing myself

мне зовут Джо, я живу в Шотландии и я хочу улучшить мой словарь

Меня зовут Джо, я живу в Шотландии и я хочу .. you say vocabulary, по русски "словарь" -это книга слов (dictionary) , по этому лучше написать "словарный запас" = vocabulary.