be or being

Anna likes dancing and she would like to be a professional dancer.

Предложение написано правильно. В данном контексте being употребить нельзя, т.к. "мешает" слово would.

Но даже если бы его не было - всё равно being употреблять нельзя, т.к. в основном, being переводится как "будучи" (в контексте "поскольку я являюсь...) - т.е. для настоящего времени.

being=as I am...

E.g.

Being /as I am your mother, I do not allow you that! - Будучи твоей мамой/Поскольку я твоя мама, я не позволяю тебе этого