Lần đầu tiên tôi đi Hà Nội

Cách đây hai năm tôi đi (đi du lịch đến/thăm) Việt Nam lần đầu tiên.

Tôi và gia đình của tôi cũng như một gia đình thân là người Mỹ gốc Việt đến cùng tôi theo tour trọn gói. This sentence isn't wrong, however it would be better if you said "Tôi cùng gia đình tôi và một gia đình bạn thân là người Mỹ gốc Việt đi theo tour trọn gói".

Mục đích của chuyến đi này là tự giới thiệu với nước VN trong ba tuần. I do not get your point here when you say " tự giới thiệu với nước Việt Nam trong ba tuần". "tự giới thiệu" means you introduce yourself to others. So when you use "tự giới thiệu" in this context, it sounds odd. I guess your idea was "the purpose is to know more about Viet Nam in 3 weeks" ==> It should be rewritten as below:

Mục đích của chuyến đi này là để tìm hiểu thêm về nước Việt Nam trong ba tuần.

Mặc dù chúng tôi quyết định ở miền Bác Bắc trong năm ngày người hướng dẫn viên (đã nghĩ là chúng sẽ thích thăm Sapa và Vịnh Hạ Long hơn tham quan Hà Nội.). .... cứ nghĩ là chúng tôi thích thăm Sapa và Vịnh Hạ Long hơn tham quan Hà Nội. If you say somebody "cứ" do something. It means he/she keeps doing that thing and it annoys you or it is simply wrong in your point of view.

Đây là nghĩ sai theo tôi! "Đây là" is used to introduce something.

For example:

"Đây là bạn tôi - This is my friend" 

"Đây là nhà tôi - This is my house"

==> it should be written as below:

Điều này là sai. "theo tôi" is not wrong but it is not the way native speaker says. "theo tôi" is used to talk about your opinion/perspective about a topic/issue/problem. For example, if somebody asks you "Bạn thích ăn gì?" you do not say "theo tôi".

Lần đầu tiên tôi đi (I think you should you "đến" instead of "đi" to make this sentence more natural) Hà Nội

Cách đây hai năm tôi đi Việt Nam lần đầu tiên. Tôi và gia đình của tôi cũng như một gia đình thân là người Mỹ gốc Việt đến cùng tôi theo tour trọn gói. Mục đích của chuyến đi này là tự giới thiệu với tìm hiểu (explore) nước VN trong ba tuần. Mặc dù chúng tôi quyết định ở miền Bắc trong năm ngày, người hướng dẫn viên đã nghĩ là chúng sẽ thích thăm Sapa và Vịnh Hạ Long hơn tham quan Hà Nội. Đây là nghĩ sai theo tôi! (This sentence is correct, but I think you should say "Đây là một sự nhầm lẫn"-This is a confusion)