Ciao! Vorrei imparare l'italiano

Mi chiamo Becca. Studio italiano da due anni all'università. (Siccome) mia madre è nata in Italia, e ho molti parenti italiani.* So/posso comunicare** facilmente con miei parenti. Forgive me for all the mistakes I make (como se dice?). Scusate per tutti gli errori che faccio. 

Parlo un po' di italiano/parlo un po' italiano. Non è facile! Aiutami/aiutatemi a migliorare. Grazie!

* Mia madre è nata in Italia, e ho molti parenti italiani. - Grammatically correct but not fluent

* You could also say "Mia madre è nata in Italia, e quindi ho molti parenti italiani."

The difference between the two versions is: "Siccome... ho" "Since my mother... I have" "Mia madre... quindi" "Mi mother is.. for this reason.."

** Depending on the meaning: (io) so ("I can" meaning I know how to) (io) posso ("I can" meaning I have the possibility to)

Ciao! Vorrei imparare l'italiano

Mi chiamo Becca. Studiare l' Studio italiano da due anni all'a università. Mia madre sono nato è nata in Italia, e ho molti parenti italiani. Ho communicare Comunico facilmente con i miei parenti. Forgive me for all the mistakes I make (como se dice?).

Parlo l'italiano un po solo un po' d'italiano. Non è facile! Aiutami Aiutatemi a migliorare . Grazie!

I made a translation following your the tenses you used.
Look "Studiare" is the infinitive tense. You have to conjugate the verb with the subject, that is you, or better, in a subjective way "I". So this is "Io studio" but in Italian you can omit the subject if it's clear and there no doubt about it. So you can just write "Studio".
You can find the conjugation of this verb here:
http://www.wordreference.com/conj/ITverbs.aspx?v=studiare

Even for your mother, that is the subject of the third sentece: your mother IS born in Italy. So, in Italian: mia madre è nata in Italia.
A difference between English and Italian is that in Italian you have to inflect the subject and the verb, not only coniugate the last one. So you DON'T use "mia madre è nato" but "mia madre è natA" because your mather is a feminine and singular subject.
Here, the conjugator for "nascere":
http://www.wordreference.com/conj/ITverbs.aspx?v=nascere

"Comunico" Do you prefer "comunicate" or "speak" in English? In Italian "speak" is more fluent.. communicate is not wrong but... sounds a little weird in a sentence like this.
I think we use it for machine: I can communicate with the machine with this protocol - Comunico con la macchina grazie a questo protocollo; or when we want to say that someone can't understand our words/feeling: We can't communicate anymore! - Non ci capiamo più! 

If you have any doubt, just write me! :) 

Ciao! Vorrei imparare l'italiano

Mi chiamo Becca. Studiare Studio l'italiano da due anni alla all'università. Mia madre sono è nato nata in Italia, e ho molti parenti italiani. Ho communicare Chiachero facilmente con i miei parenti. Forgive me for all the mistakes I make (como se si dice?).  Maybe you can say: Perdonami per tutti gli errori che ho fatto.

Parlo l'italiano un po. Non è facile! Aiutami migliorare. Grazie!

I'm not a native Italian speaker and I'm learning the language too. Hope it's help.

Ciao! Vorrei imparare l'italiano

Mi chiamo Becca. Studio l'italiano da due anni all' università. Mia madre è nata in Italia, e ho molti parenti italiani. Ho comunicato facilmente con miei parenti. Forgive me for all the mistakes I make (como se dice?).

Parlo l'italiano un po. Non è facile! Aiutami a migliorare. Grazie!