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Cuáles son las diferencias entre "bullir" y "hervir"?

No es lo mismo. Sin embargo en contexto rutinario se usan como sinónimos por lo que realmente los puedes considerar como tal en muchos casos.

Químicamente hervir algo es mantenerlo a una temperatura  ligéramente por debajo del punto de ebullición. 

El punto de ebullición de una sustancia es único y una vez que se alcanza toda la masa de esa sustancia empieza a cambiar de estado con gran agitación. En la cocina, a veces necesitas alcanzar el punto de ebullición (por ejemplo, antes de hervir la pasta), pero pocas veces necesitas que el líquido siga bulliendo y lo dejas hervir (algo por debajo del punto de ebullición en el que se produce esa agitación tan grande).

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( https://www.google.com.ar/?hl=es&gws_rd=cr&ei=DrEQVs6eLcONwgTb_ZjADA#hl=es-AR&q=bullir )
bullir
verbo intransitivo

1.
Producir [un líquido] burbujas que suben desde el interior del mismo y estallan al llegar a la superficie, cuando este alcanza una temperatura determinada, por fermentación o por efervescencia.
sinónimos: hervir
2.
Moverse mucho [una persona] dando muestras de una gran actividad u ocupándose en muchas cosas.
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( https://www.google.com.ar/?hl=es&gws_rd=cr&ei=DrEQVs6eLcONwgTb_ZjADA#hl=es-AR&q=hervir )
hervir
verbo intransitivo

1.
Producir [un líquido] burbujas que suben desde el interior del mismo y estallan al llegar a la superficie, cuando este alcanza una temperatura determinada, por fermentación o por efervescencia.
2.
Tener [un lugar] una cantidad grande de personas o cosas, especialmente si están en continuo movimiento.
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(mis comentarios)

Acepcion 1: BULLIR es producir burbujas. HERVIR es bullir por aumento de temperatura hasta llegar al Punto de Ebullicion (en el caso del agua, 100ºC). Por efervescencia no se hierve: una CocaCola no hierve, y hace burbujas.

Acepcion 2: nunca escuché que [una persona] bulla. Sí escuché alguna vez que [un lugar] "bullía de gente" y mas comunmente que [un lugar] "hervía de gente", o mas todavia, que [un lugar] "es un hervidero" (refiriendosé a 'cantidad grande de personas', NO de cosas).

Probablemente en otros paises o regiones, sea diferente. Y seguramente lo será en espania.

Yo soy de Argentina.

Ambas palabras se usan para decir que se calienta algún líquido, pero también te dejo otras definiciones de ambas:

Bullir:

Hervir un líquido:
Ejemplo: la sopa bullía en la cazuela.

Agitarse una masa de personas, animales u objetos:
Ejemplo: las abejas bullían en cuanto me acercaba.

Surgir con frecuencia y abundancia:
Ejemplo: le bullían las ideas.

Hervir:

Moverse agitadamente un líquido por elevación de su temperatura o fermentación:

Ejemplo: el agua hierve a 100 ºC.

Cuando se habla de abundancia:
Ejemplo: la estación hervía de gente.

Excitarse los afectos y las pasiones:
Ejemplo hervir de impaciencia, de ira.

Hacer hervir un líquido:
Ejemplo: hierve la leche.