다른 분이 잘 고쳐 주셨네요. 몇가지만 추가해 보겠습니다.

내 일 [제목이 왜 '내 일(My work)'인가요? '오늘 하루'가 더 어울릴 듯 해요.]

오늘 저녁 " 여왕 과 나" 드라마를 보면서 즐기고 있다.

["여왕과 나"라는 오래된 명화가 있었는데 동명의 드라마가 나왔나요?]
 

나는 당신의 수정에서 많이 배울 수 있도록 노력하겠습니다!

저는 당신이 수정해 주시면, 많이 배울 수 있을 것입니다.
 

내 일

오늘 저녁 " 여왕 과 I" 드라마 를보고 즐기고있다.

▶오늘 저녁에는 '여왕과 I' 이라는 드라마를 재미있게 보았다. ( 여왕과 I? I don't know what is it. sorryㅠㅠ)
 
내 퍼그 개는 나와 함께 쇼를보고 즐긴다.
▶나의 개 퍼그는 나와 함께 드라마를 보고 즐긴다.

 나의 애완견(or 반려견) 퍼그는 나와 함께 드라마를 보고 즐긴다.

 
나는 그것을 보는 동안 그녀는 정말 그냥 하지만 , 잔다.
▶내가 그것을 보는 동안 퍼그는 그냥 잔다.

쇼를 보는 것은 나에게 조금 향수병 있습니다.

▶ Oh sorry I didn't understand what you want to say.

  umm.. 그 드라마는 나에게 향수병을 불러일으킨다. or 그 드라마를 보면 나는 고향이 그리워진다.

  Are you want to say it?
 
내 한국어 교재 또는 사전 의 에 액세스 할 수없는 , 그래서 내가 여기에 서면 아무것도 얻을 수 있도록 구글 에 의존 하고있다.
▶나의 한국어 교재나 사전을 사용할 수가 없어서 여기에 글을 올릴 때는 구글에 의존하고 있다.

나는 당신의 수정 에서 많이 배울 수 있도록 노력하겠습니다 !
▶ If you want to say formally , use '저는' instead '나는'

  '노력하겠습니다' is formal expression, so along the same line as '저는' is better in this sentence.

한편 , 나는 더 많은 어휘 은 온라인 사전을 공부 한다 !
▶나는 더 많은 어휘를 공부하기 위해서 온라인 사전을 이용한다!
감사합니다!

If I have to say one thing, '-입니다' is more formal expression than '-이다.'

If you start writting with '-입니다' , you should use '-입니다' consistency untill end of writting.

wow your writting skill is great! cool! :p  and your puppy is so cute XD

I cheer on your study! :)